Ontem acabei de me deparando com um probleminha interessante, e que me fez relembrar o conceito de representação de números em ponto flutuante. Vou tentar explicar aqui a parte teórica da coisa, e no final apresento o problema e a solução. Se você não gosta de teoria, pode pular pro último parágrafo.
Muito bem. Suponha que você tenha o seguinte código em Java:
int i = 15; float f = (float)i; System.out.println(i+”, “+f);
O resultado da impressão será 15, 15.0.
Até aí nenhum novidade. O casting faz com que o número passe a ser tratado como ponto flutuante, mas mantém o valor inteiro. OK. Alguém aí já parou pra olhar como estes números são representados binariamente, por baixo do pano?
15 inteiro = 00000000 00000000 00000000 00001111
15 float = 01000001 01110000 00000000 00000000
Para alguns talvez isto não seja novidade, e para outros uma descoberta. E para alguns como eu era algo que eu já imaginava, mas nunca olhei a fundo.
No caso do 15 inteiro, nenhuma novidade: 15 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
No caso do 15 float, é necessário entendermos o padrão que rege a representação dos números de ponto flutuante: IEEE 754. Resumindo: segundo o padrão, um número de ponto flutuante pode ser representado com precisão simples (32 bits, float em Java) ou precisão dupla (64 bits, double em Java). A IEEE define apenas a precisão de 32 bits como obrigatória, as outras sendo opcionais.
No caso da representação simples, o layout dos bits é o seguinte: o primeiro bit representa o sinal (0 positivo, 1 negativo), os 8 bits subsequentes representam o expoente e o restante (23 bits), a parte fracionária (chamada de mantissa). O desenho abaixo, obtido da wikipedia, ilustra este layout:
O expoente pode mapear valores entre -127 a 127 (no caso de um expoente de 8 bits). Para evitar o uso de bit de sinal, que pode dificultar certas operações, foi definido que o valor armazenado seria e + 127, onde e é o real valor a ser considerado.
A mantissa armazena um valor fracionario, e pode ser traduzido como 1.<padão de bits da mantissa>. Se a nossa mantissa for 1000000 00000000 00000000, é equivalente a 1.1000000 00000000 00000000. Aqui vale ressaltar mais um ponto: estamos considerando números binários, portanto os valores após às virgulas podem ser considerados como potências negativas de 2 (assim como números fracionários na base 10). No caso do exemplo, 1.1 é equivalente à 1 + 2^(-1) = 1 + 0.5 = 1.5.
Tendo estes elementos em mão é fácil calcular o resultado final: f = (sinal) * 2^(e -127) * 1.<mantissa>.
No caso do número 15, vamos ver como fica a coisa:
- sinal = 0 = +1
- expoente =
10000010 = 130. Portanto e = 130 – 127 = 3. - mantissa =
1110000 00000000 00000000, portanto 1.111 = 1 + 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) = 15/8 - Resultado = +1 * 2^3 * 15/8 = 8 * 15/8 = 15.
Simples: eu tenho que ler um fluxo de bytes, seguindo um descritor de mensagem, e reconstituir certos tipos de dados (ints, booleanos, campos de bits, etc…). Como eu tenho que ler e extrair alguns campos de bits perdidos no meio de bytes, resolvi implementar uma estratégia de baixo nível, lendo byte a byte e concatenando quando necessário em tipos de dados maiores. Além disso, estou usando como repositório temporário destes bits uma variável do tipo long, que possui 64bits, o que é mais do que necessário para armazenar qualquer dado que eu receba. A operação é simples: recebo um byte, e “colo” ele no long usando operações SHIFT e OR binários.
Agora suponha que o programa em C me mande o número 15 em ponto flutuante de 32 bits, como definido acima, e que eu armazene os bits recebidos em um long. Se ao final da leitura, eu pegar a variável temporária e fizer um casting para float direto, a JVM vai pegar o valor do long (no caso 1097859072) e simplesmente converter para o padrão IEEE 754 correspondente, o que me resultaria num float com valor 1097859072.0, o que definitivamente não me interessa. O que eu preciso é de uma função que receba um long ou um int, seja capaz de olhar para o dado apenas como um repositório de bits e gere o float o double correspondente. No caso, os métodos Float.intBitsToFloat(int) e Double.longBitsToDouble(lont).
PS: Quem estiver interessado em ter uma leitura mais teórica e aprofundada sobre o tema pode ler o artigo What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic.